Fungsi f : R → R dan g : R → R dengan f(x x 5 dan g(x x2 − 2x 2 nilai dari f ∘ g − 1))

Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita dapat membentuk sebuah fungsi baru dengan menggunakan sistem operasi komposisi. operasi komposisi biasa dilambangkan dengan “o” (komposisi/bundaran). fungsi baru yang dapat kita bentuk dari f(x) dan g(x) adalah:
(g o f)(x) artinya f dimasukkan ke g(f o g)(x) artinya g dimasukkan ke f

Contoh Soal 1: 

Diketahui f(x) = 3x – 4 dan g(x) = 2x, maka tentukanlah rumus (f o g)(x) dan (g o f)(x) …
Jawab: (f o g)(x) = g dimasukkan ke f menggantikan x(f o g)(x) = 3(2x)-4(f o g)(x) = 6x – 4
(g o f)(x) = f dimasukkan ke g menggantikan x(g o f)(x) = 2(3x-4)(g o f)(x) = 6x-8

Sifat-sifat Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi memiliki beberapa sifat, diantaranya:
Tidak Komutatif(g o f)(x) = (f o g)(x)
Asosiatif(f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)]
Fungsi Identitas I(x) = x (f o I)(x) = (I o f)(x) = f(x)

Cara Menentukan fungsi bila  fungsi komposisi dan fungsi yang lain diketahui  

Misalkan jika fungsi f dan fungsi komposisi (f o g) atau (g o f) telah diketahui maka kita dapat menentukan fungsi g. demikian juga sebaliknya.


Contoh Soal 2

Misal fungsi komposisi (f o g) (x) = -4x + 4 dan f (x) = 2x + 2.Tentukan fungsi g (x).Jawab :

     (f o g) (x)     =  -4x + 4

         f (g (x)     =  -4x + 4

     2 (g (x) + 2  =  -4x + 4

             2 g (x) =  -4x + 2

                g (x) =  -4x + 2

                                     2

                g (x) =   -2x + 1

Jadi fungsi g (x) =   -2x + 1

Fungsi Invers

Apabila fungsi dari himpunan A ke B dinyatakan dengan f, maka invers dari fungsi f merupakan sebuah relasi dari himpunan A ke B. Sehingga, fungsi invers dari f : A -> B adalah f-1: B -> A. dapat disimpulkan bahwa daerah hasil dari f-1 (x) merupakan daerah asal bagi f(x) begitupun sebaliknya.

Cara menemukan fungsi invers bila fungsi f(x) telah diketahui:

Pertama Ubah persamaan y =  f (x) menjadi bentuk x sebagai fungsi dari y
Kedua Hasil perubahan bentuk x sebagai fungsi y itu dinamakan sebagai f-1(y)
Ketiga Ubah y menjadi x [f-1(y) menjadi

SOAL DAN PEMBAHASAN

Diketahui fungsi f(x) = 2x − 3 dan g(x) = x2 + 2x − 3. Komposisi fungsi (g ∘ f)(x) = ….

A.   2x2 + 4x − 9
B.   2x2 + 4x − 3
C.   4x2 + 6x − 18
D.   4x2 + 8x
E.   4x2 − 8x

Pembahasan

Komposisi fungsi (g ∘ f)(x) artinya fungsi f(x) tersarang dalam fungsi g(x) sehingga yang menjadi patokan adalah fungsi g(x).

g(x) = x2 + 2x − 3
(g ∘ f)(x) = f2(x) + 2f(x) − 3
               = (2x − 3)2 + 2(2x − 3) − 3
               = 4x2 − 12x + 9 + 4x − 6 − 3
               = 4x2 − 8x

Jadi, komposisi fungsi tersebut adalah opsi (E).

2. Soal UN 2017

Diketahui fungsi f ∶ R → R dan g ∶ R → R. Jika g(x) = 2x − 4 dan (g ∘ f) = 4x2 − 24x + 32, fungsi f(−2) adalah ….

A.   12B.   24C.   32D.   50

E.   95

Pembahasan

Berpedoman pada g(x) = 2x − 4 maka bisa diartikan (g ∘ f) = 2f(x) − 4.

    (g ∘ f) = 4x2 − 24x + 32
2f(x) − 4 = 4x2 − 24x + 32 
      2f(x) = 4x2 − 24x + 36 
        f(x) = 2x2 − 12x + 18

Nah, kita tinggal memasukkan x = −2 pada fungsi f(x) tersebut.

f(−2) = 2(−2)2 − 12(−2) + 18          = 8 + 24 + 18 

         = 50

Jadi, nila dari f(−2) adalah 50 (D).

3. Soal UN 2016

Jika diketahui f(x) = x2 + 4x – 5dan g(x) = 2x – 1, maka hasil dari fungsi komposisi (gof)(x) adalah ….

a. 2x2 + 8x – 11

b. 2x2 + 8x – 6

c. 2x2 + 8x – 9

d. 2x2 + 4x – 6

e. 2x2 +4x – 9

Pembahasan
Sesuai dengan konsep fungsi komposisi, fungsi g komposisi f dapat dirumuskansebagai berikut :

Keterangan : Substitusi fungsi f(x) ke fungsi g(x), dengan kata lain ganti nilai x pada fungsi g(x) menjadi f(x).

Pada soal diketahui  f(x) = x2 + 4x – 5 dan g(x) = 2x – 1, maka (gof)(x) itu artinya ganti x pada 2x – 1 menjadi x2 + 4x – 5 sebagai berikut :

⇒ (gof)(x) = g(x2 + 4x – 5)

⇒ (gof)(x) = 2(x2 + 4x – 5) – 1

⇒ (gof)(x) = 2x2 + 8x – 10 – 1

⇒ (gof)(x) = 2x2 + 8x – 11

Jawaban : A

4. Soal UN 2010

Jika diketahui g(x) = x + 1 dan (fog)(x) = x2 +3x + 1, maka f(x) sama dengan …

a. x2 + 5x + 5

b. x2 + x – 1

c. x2 + 4x + 3

d. x2 + 6x + 1

e. x2 +3x -1

Pembahasan Berdasarkan konsep komposisi, maka kita peroleh :

⇒(fog)(x) = x2 + 3x + 1


⇒f(g(x)) = x2 + 3x + 1
⇒f(x + 1) = x2 + 3x + 1

Untuk mencari f(x), kita bisa melakukan pemisalan. Misal x + 1 = p, maka x = p – 1

Selanjutnya, ganti x pada persamaan  f(x + 1) = x2 + 3x + 1 dengan p – 1 sehingga kita peroleh :


⇒ f(x + 1) = x2 + 3x + 1
⇒ f(p) = (p – 1)2 + 3(p – 1) + 1 
⇒ f(p) = p2 – 2p + 1 + 3p – 3 + 1
⇒ f(p) = p2 + p – 1 

Langkah terakhir kita tentukan f(x) berdasarkan persamaan di atas. Jika f(p) = p2 + p – 1, maka f(x) diperoleh dengan cara ganti p menjadi x sebagai berikut :


⇒ f(p) = p2 + p – 1
⇒ f(x) = x2 + x – 1 

Jawaban :B

5. Soal UN 2012

Suatu pemetaan f:R → R, g:R → R dengan (gof)(x) =2x2 + 4x + 5 dan g(x) = 2x + 3, maka f(x) sama dengan …

a. x2 + 2x + 1

b. x2 + 2x + 2

c. 2x2 + x + 2

d. 2x2 + 4x + 2

e. 2x2 +4x + 1

Pembahasan Sesuai dengan konsep komposisi :

⇒ (gof)(x) = 2x2 + 4x + 5


⇒ g(f(x)) = 2x2 + 4x + 5Karena f(x) belum diketahui dan g(x) = 2x + 3, maka ganti x pada 2x +3 dengan f(x) sebagai berikut : 

⇒ 2(f(x)) + 3 = 2x2 + 4x + 5


⇒ 2f(x) = 2x2 + 4x + 5 – 3
⇒ 2f(x) = 2x2 + 4x + 2
⇒ f(x) = x2 + 2x + 1

Jawaban :A

6. Soal UN 2012

Diketahui fungsi f(x) = 2x − 3 dan g(x) = x2 + 2x − 3. Komposisi fungsi (gof)(x) =….
A. 2x2 + 4x − 9
B. 2x2 +4x − 3
C. 4x2 +6x − 18
D. 4x2 + 8x
E. 4x2 − 8x

PEMBAHASAN

gof fokus ke g(x) lalu ganti x dengam f(x) gof(x) = (2x-3)²+2(2x-3)-3= (4x²-12x+9)+4x-6-3

= 4x²-8x

JAWABAN NYA : (E)

7. Soal UN 2013

Diketahui fungsi f(x) = x – 4 dan g(x) = x2 – 3x + 10. Fungsi komposisi (gof)(x) =….
A. x2 – 3x + 14
B. x2 – 3x + 6
C. x2 – 11x + 28
D. x2 -11x + 30
E. x2 -11x + 38

PEMBAHASAN 

Diketahui fungsi f(x)=x-4 dan g(x)=x²-3x+10.fungsi (gof)(x)g(f(x)) = g(x-4) = (x-4)² – 3(x-4) + 10= x² – 8x + 16 – 3x + 12 + 10

x² – 11x + 38 

JAWABANNYA: (E)

8. Soal UN 2013

Diketahui fungsi f(x) = x − 4 dan g(x) = x2 − 3x + 7. Fungsi komposisi (g ∘ f)(x) = ….

A.   x2 − 3x + 3
B.   x2 − 3x + 11
C.   x2 − 11x + 15
D.   x2 − 11x + 27
E.   x2 − 11x + 35

Pembahasan

Perhatikan fungsi komposisi yang ditanyakan!

(g ∘ f)(x) = g[f(x)]

Letak fungsi g ada di depan sehingga kita harus berpatokan pada fungsi g(x).

g(x) = x2 − 3x + 7 
g[f(x)] = [f(x)]2 − 3f(x) + 7 
           = (x − 4)2 − 3(x − 4) + 7 
           = x2 − 8x + 16 − 3x + 12 + 7 
           = x2 − 11x + 35

Jadi, fungsi komposisi (g ∘ f)(x) adalah opsi x2 − 11x + 35 (E).

9. Soal UN 2017

Diketahui fungsi f ∶R → R dan g ∶R → R. Jika g(x) = 2x − 4 dan (g ∘f) = 4x2 − 24x + 32, fungsi f(−2) adalah ….A.   12B.   24C.   32D. 50

E. 95

Pembahasan

Berpedoman pada g(x) = 2x − 4 maka bisa diartikan (g ∘f) = 2f(x) − 4.

    (g ∘

f) = 4x2 − 24x + 32
2f(x) − 4 = 4x2 − 24x + 32 
      2f(x) = 4x2 − 24x + 36 
       f(x) = 2x2 − 12x + 18

Nah, kita tinggal memasukkan x = −2 pada fungsi f(x) tersebut.

f(−2) = 2(−2)2 − 12(−2) + 18 

         = 8 + 24 +18          = 50

Jadi, nila dari f(−2) adalah 50 (D).

10. Soal UN 2010

Diketahui fungsi f : R → R dan g : R → R dirumuskan dengan f(x) = 2x −1 dan

Pembahasan

Kita tentukan (f∘g)(x) terlebih dahulu

        f(x) = 2x − 1


(f ∘g)(x) = 2g(x) − 1               

Selanjutnya kita tentukan inversnya denganmenggunakan rumus invers di atas.

Jadi, invers dari komposisi fungsi tersebut adalah opsi (B).

Pengertian Logika Matematika

A. Pernyataan

Dalam ilmu matematika pernyataan merupakan sebuah kalimat yang bisa dinyatakan sebagai pernyataan yang benar maupun salah, namun tidak bisa dinyatakan keduanya. Sebuah kalimat dapat dinyatakan sebagai pernyataan jika bisa ditentukan benar atau salahnya. Jika merupakan sebuah kalimat relative, maka tidak bisa ditentukan sebagai pernyataan.

Pengertian pernyataan dalam logika matematika dibagi menjadi dua jenis, yaitu pernyataan terbuka dan pernyataan tertutup. Keduanya berbeda dari segi kepastiannya.

Pernyataan terbuka adalah pernyataan yang belum bisa dipastikan nilai kebenaran atau salahnya. Sedangkan pernyataan tertutup adalah adalah pernyataan yang sudah bisa dipastikan baik nilai benar maupun salahnya.

Contoh Soal Pernyataan dalam Logika Matematika :

Pernyataan tertutup

60 + 40 = 100 (benar) ; 200:4 = 60 (salah).

Kedua pernyataan diatas dapat dipastikan kebenaran dan kesalahannya.

Penyataan terbuka

Bapak Presiden akan mengunjungi Kota Makassar besok pagi (kalimat yang harus dibuktikan terlebih dahulu).

Ada satu pernyataan lagi yang disebut dengan pernyataan relatif. Pernyataan ini merupakan pernyataan yang bisa benar namun juga salah. Agar lebih memahaminya, simak contoh berikut.

Pernyataan relatif: Musik pop merupakan musik yang menyenangkan (Merupakan pernyataan relatif karena tidak semua orang menyukai musik pop); Jarak Jakarta-Kualalumpur sangatlah jauh (Juga termasuk pernyataan relatif, karena sebagian orang mengatakan dekat karena bisa ditempuh kurang dari 2 jam perjalanan udara).

B. Negasi

Pengertian Negasi adalah pernyataan ingkaran. Ingkaran biasanya dimulai dengan kata tidak benar bahwa untuk menyanggah kalimat sebenarnya. Agar lebih memahaminya, berikut contoh untuk kalimat negasi.

Pernyataan A: Semua sungai mengalir ke samudera.

Negasi atau ingkaran dari pernyataan A diatas adalah tidak benar bahwa semua sungai mengalir ke samudera.

Negasi biasanya dinyatakan dengan symbol ~.

C. Konjungsi

Dalam materi logika matematika, hukum konjungsi adalah benar hanya jika kedua pernyataan benar. Pernyataan akan salah jika salah satu pernyataan atau keduanya adalah salah. Dua pernyataan dalam konjungsi digabungkan dengan menggunakan tanda ^ yang berarti ” dan “.

Tabel Kebenaran Konjungsi

pqP ^ qLogika matematika
BBBJika p benar dan q benar maka p dan q adalah benar
BSSJika p benar dan q salah maka p dan q adalah salah
SBSJika p salah dan q benar maka p dan q adalah salah
SSSJika p salah dan q salah  maka p dan q adalah salah

Untuk lebih jelasnya, silahkan perhatikan penjelasan dibawah ini.

  • Untuk p benar dan q benar, (p^q) = benar
  • Untuk p benar dan q salah , (p^q) = salah
  • Untuk p salah dan q benar, (p^q) = salah
  • Untuk p salah dan q salah, (p^q) == salah

D. Disjungsi

Berbeda dengan sistem yang diterapkan pada konjungsi, pengertian disjungsi adalah penggunaan symbol ˅ yang berarti “atau”. Hukum disjungsi adalah apabila salah satu dari dua pernyataan merupakan benar, maka hasilnya adalah benar. Namun jika keduanya salah, maka pernyataan dianggap salah.

Tabel Kebenaran Disjungsi

pqP v qLogika matematika
BBBJika p benar dan q benar maka p atau q adalah benar
BSBJika p benar dan q salah maka p atau q adalah benar
SBBJika p salah dan q benar maka p atau q adalah benar
SSSJika p salah dan q salah  maka p atau q adalah salah

Berikut penjelasannya disjungsi:

  • Untuk p benar dan q benar, (p˅q) = benar
  • Untuk p benar dan q salah , (p˅q) = benar
  • Untuk p salah dan q benar, (p˅q) = benar
  • Untuk p salah dan q salah, (p˅q) == salah.

E. Implikasi

Pengertian konsep implikasi adalah konsep penyesuaian. Dua pernyataan dihubungkan dengan symbol ⇒ yang berarti “Jika p… maka q…”. Berikut ini merupakan konsep dari implikasi untuk dipahami.Tabel Kebenaran Implikasi

pq=> qLogika matematika
BBBJika awalnya BENAR lalu akhirnya BENAR maka dianggap BENAR
BSSJika awalnya BENAR lalu akhirnya SALAH maka dianggap SALAH
SBBJika awalnya SALAH lalu akhirnya BENAR maka dianggap BENAR
SSBJika awalnya SALAH lalu akhirnya SALAH maka dianggap BENAR
  • Untuk p benar dan q benar, (p⇒q) = benar
  • Untuk p benar dan q salah , (p⇒q) = salah
  • Untuk p salah dan q benar, (p⇒q) = benar
  • Untuk p salah dan q salah, (p⇒q) = benar.

Kesimpulannya adalah, dalam implikasi hanya dinyatakan salah jika pernyataan pertama benar, namun pernyataan kedua salah.

F. Biimplikasi

Pengertian Biimplikasi adalah pernyataan yang hanya akan menyatakan benar jika kedua pernyataan menyatakan kesamaan nilai, baik benar maupun salah. Maksudnya adalah, pernyataan dianggap benar jika keduanya sama-sama salah maupun sama-sama benar.

Dalam soal logika matematika, untuk menyatakan biimplikasi adalah menggunakan symbol ⇔ yang memiliki arti ”p.. jika dan hanya jika q..”.

Tabel Kebenaran Biimplikasi

pqó qLogika matematika
BBBP adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah BENAR (dianggap benar)
BSSP adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah SALAH (dianggap salah)
SBSP adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah BENAR (dianggap salah)
SSBP adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah SALAH (dianggap benar)

Agar lebih jelas, berikut pembahasanBiimplikasi secara singkatnya:

  • Untuk p benar dan q benar, (p⇔q) = benar
  • Untuk p benar dan q salah , (p⇔q) = salah
  • Untuk p salah dan q benar, (p⇔q) = salah
  • Untuk p salah dan q salah, (p⇔q) = benar.

G. Ekuivalensi pernyataan majemuk

Setelah mengetahui materi dasar mengenai logika matematika, selanjutnya adalah mempelajari mengenai ekuivalensi pernyataan majemuk. Pengertian ekuivalensi pernyataan majemuk adalah dua pernyataan majemuk yang berbeda namun memiliki nilai yang sama atau ekuivalen.

Ekuivalensi biasanya ditampilkan dalam bentuk rumus, contohnya adalah seperti dibawah ini:

  • ~(p^q) = p˅~q
  • ~(p˅q) = p^~q
  • (p⇒q) = p˅~q.

H. Konvers, invers, dan kontraposisi

Pengertian konvers, invers dan kontraposisi adalah pernyataan yang hanya berlaku untuk pernyataan implikasi saja. Setiap pernyataan implikasi memiliki ketiga pernyataan tersebut.

Agar lebih mudah dalam pemahamannya, berikut ringkasannya:

  • Diketahui sebuah implikasi p⇒q,
  • Maka konversnya adalah q⇒p
  • Inversnya adalah ~p⇒~q
  • Sedangkan untuk kontraposisinya adalah ~q⇒~p.

I. Kuantor pernyataan

Kuantor pernyataan adalah sebuah bentuk dari pernyataan yang mengandung nilai kuantitas didalamnya. Ada dua jenis kuantor pernyataan, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.

Kuantor universal yang disebut juga kuantor umum adalah pernyataan yang menggunakan “untuk setiap” atau “untuk semua”. Simbol yang digunakan adalah x.

Contoh: Pernyataan “semua bunga adalah indah”. Maka notasinya adalah (∀x), [ B(x) → I(x) ]

Sedangkan kuantor eksistensial atau kuantor khusus adalah pernyataan yang menggunakan “beberapa”, “terdapat, dan “ada”. Simbol yang digunakan adalah Ǝx.

Contoh: pernyataan” Ada bunga yang jelek”. Maka notasinya adalah (Ǝx),Jx.

J. Ingkaran dari pernyataan kuantor

Sama seperti pernyataan, kuantor adalah memiliki negasi atau ingkaran. Hukum negasi ini adalah bahwa negasi dari kuantor universal adalah kuantor eksistensial dan sebaliknya. Sebagai contoh adalah:

p : semua bunga adalah indah

~p : semua bunga tidaklah indah.

Penarikan kesimpulan

Penarikan kesimpulan merupakan materi terakhir dalam logika matematika. Kesimpulan bisa ditarik dari premis atau pernyataan yang telah ada. Ada tiga metode untuk melakukan penarikan kesimpulan.

Modus ponens

Rumus Modus ponens adalah sebagai berikut:

premis 1: p→q, premis 2: p, kesimpulan: q. Artinya jika diketahui p→q dan p, maka kesimpulannya adalah q.

Contoh:

  • Premis 1: Jika musim semi tiba, bunga mekar.
  • Premis 2: Musim semi tiba

Kesimpulan: Bunga mekar.

Modus Tollens

Rumus Modul Tollens:

  • Premis 1: p→q
  • Premis 2: ~q

Kesimpulan: ~p

Contoh:

Premis 1: Jika musim dingin tiba, maka danau akan membeku.

Premis 2: Danau tidak membeku

Kesimpulan: Tidak sedang musim dingin.

Silogisme

Rumus silogisme:

  • Premis 1: p→q
  • Premis 2: q→r
  • Kesimpulan: p→r

Contoh Soal Silogisme:

  • Premis 1: Jika musim panas tiba, hutan akan kekeringan.
  • Premis 2: Jika hutan kekeringan maka pepohonan akan mati.

Dari sini dapat kita ambil kesimpulan: Jika musim panas tiba, maka pepohonan akan mati.

SOAL DAN PEMBAHASAN

Dari argumentasi berikut : Jika ibu tidak pergi, maka adik senang. Jika adik senang, maka dia tersenyum. Kesimpulan yang sah adalah …A. Ibu tidak pergi atau adik tersenyumB. Ibu pergi dan adik tidak tersenyumC. Ibu pergi atau adik tidak tersenyumD. Ibu tidak pergi dan adik tersenyum

E. Ibu pergi atau adik tersenyum

Pembahasan :Ingat kembali penarikan kesimpulan metode silogisme :  p → q  q → r————∴ p → rmisal :ibu tidak pergi = padik senang = q

adik tersenyum = r

Maka kesimpulan yang sesuai dengan pernyataan adalah jika ibu tidak pergi, maka adik tersenyum. Akan tetapi, karena kesimpulan tersebut tidak ada pada opsi jawaban, maka kita harus menentukan pernyataan yang ekuivalen atau sama dengan kesimpulan p → r.  

Ingat kembali aturan kesetaraan :  p → r ≡ ~ p ∨ rp → r : jika ibu tidak pergi, maka adik tersenyum

~ p ∨ r : ibu pergi atau adik tersenyum (E)

2. Soal UN 2007

Diketahui pernyataan :1. Jika hari panas, maka Ani memakai topi2. Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung3. Ani tidak memakai payungKesimpulan yang sah adalah … A. Hari panasB. Hari tidak panasC. Ani memakai topiD. Hari panas dan Ani memakai topi

E. Hari tidak panas dan Ani memakai topi.

Pembahasan :Ingat kembali aturan kesetaraan :  ~ q ∨ r ≡ q → rMisal :Hari panas = pAni memakai topi = q

Ani memakai payung = r

Maka pernyataan di atas dapat ditulis menjadi :1. p → q2. ~ q ∨ r

3. ~ r

Karena ~ q ∨ r ≡ q → r, maka dari pernyataan 1 dan 2 diperoleh :p → qq → r————

∴ p → r

Selanjutnya, dari kesimpulan pertama dan pernyataan 3 diperoleh :p → r     ~ r   ————∴  ~ p 

Jadi kesimpulan yang sah adalah hari tidak panas. (B.)

3. Soal UN 2008

Ingkaran dari pernyataan “beberapa bilangan prima adalah bilangan genap” adalah … A. Semua bilangan prima adalah bilangan genapB. Semua bilangan prima bukan bilangan genapC. Beberapa bilangan prima bukan bilangan genapD. Beberapa bilangan genap bukan bilangan prima

E. Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima

Pembahasan :Ingat kembali ingkaran pernyataan berkuantor :~ semua A adalah B = beberapa A bukan/tidak B~ beberapa A adalah B = semua A bukan/tidak B

~ tidak ada A yang B = beberapa A adalah B

Berdasarkan aturan di atas, maka ingkaran yang sesuai untuk pernyataan “beberapa bilangan prima adalah bilangan genap” adalah Semua bilangan prima bukan bilangan genap. (B.)

4. Soal UN 2008

Diketahui premis-premis :1. Jika Badu rajin belajar dan patuh, maka Ayah membelikan bola basket.2. Ayah tidak membelikan bola basketKesimpulan yang sah adalah …A. Badu rajin belajar dan patuh.B. Badu tidak rajin belajar dan Badu tidak patuh.C. Badu tidak rajin belajar atau Badu tidak patuh.D. Badu tidak rajin belajar dan Badu patuh.

E. Badu rajin belajar atau Badu tidak patuh.

Pembahasan :Misal :Badu rajin = aBadu patuh = b Badu rajin belajar dan patuh = p = (a∧b)

Ayah membelikan bola basket = q

p → q     ~ q————

∴  ~ p 

~ p  = ~ (a ∧ b) = ~a ∨ ~b
Maka kesimpulan yang sah adalah Badu tidak rajin belajar atau Badu tidak patuh. (C)

6. Soal UN 2013

Pernyataan “Jika Bagus mendapat hadiah, maka dia senang” setara dengan …A. Jika Bagus tidak senang, maka dia tidak mendapat hadiahB. Bagus mendapat hadiah tapi dia tidak senangC. Bagus mendapat hadiah dan dia senangD. Bagus tidak mendapat hadiah atau dia tidak senang

E. Bagus tidak senang dan dia tidak mendapat hadiah

Pembahasan :misal :Bagus mendapat hadiah = pDia senang = qp → qBerdasarkan aturan kesetaraan :

(p → q) ≡ ~q → ~p ≡ ~p ∨q

Maka pernyataan yang setara adalah :1. Jika Bagus tidak senang maka dia tidak mendapat hadiah

2. Bagus tidak mendapat hadiah atau dia senang

Jadi jawaban yang tepat adalah A.

7. Soal UN 2015

Pernyataan yang setara dengan “Jika semua siswa lulus ujian maka seluruh guru akan senang” adalah…A. Semua siswa lulus ujian dan ada guru yang tidak senang.B. Semua siswa tidak lulus ujian dan seluruh guru akan senang.C. Ada siswa yang tidak lulus ujian atau seluruh guru akan senang.D. Ada siswa yang tidak lulus ujian atau ada guru yang akan senang.

E. Ada guru yang akan senang atau semua siswa tidak lulus ujian.

PembahasanLogika matematika, pernyataan yang setara:p → q setara dengan ~p ∨ qSehingga:

Ada siswa yang tidak lulus ujian atau seluruh guru akan senang. Jawab: C.

8. Soal UN 2015

Diketahui:       Premis I: p ⇒ ~q

       Premis II: q ˅ r

Penarikan kesimpulan di atas menggunakan metode:a.    Konversb.    Kontraposisic.    Modus Ponensd.    Modus Tollense.    Silogisme

Pembahasan

Pada soal di atas, q ˅ r ekuivalen dengan   ~q ⇒ r, maka soal di atas dapat dituliskan kembali menjadi:Premis I: p ⇒ ~qPremis II: ~q ⇒ r    

Cara penarikan kesimpulan di atas adalah silogisme.
JAWABAN: E

9. Soal UN 2014

Ingkaran dari pernyataan “semua makhluk hidup perlu makan dan minum” adalah …a.    Semua makhluk hidup tidak perlu makan dan minumb.    Ada makhluk hidup yang tidak perlu makan atau minumc.    Ada makhluk hidup yang tidak perlu makan dan minumd.    Semua makhluk hidup tidak perlu makan dan minume.    Semua makhluk hidup perlu makan tetapi tidak perlu minum

Pembahasan

Ingkaran dari “semua” adalah “ada” sedangkan ingkaran “dan” adalah “atau”. Jadi, ingkaran untuk soal di atas adalah: Ada makhluk hidup yang tidak perlu makan atau minum.

JAWABAN: B

10. Soal UN 2017

Diketahui premis-premis:1)    Jika hari hujan maka ibu memakai payung.2)    Ibu tidak memakai payung.Penarikan kesimpulan yang sah dari premis-premis tersebut adalah…a.    Hari tidak hujan.b.    Hari hujan.c.    Ibu memakai payung.d.    Hari hujan dan ibu memakai payung.e.    Hari tidak hujan dan ibu memakai payung.

Pembahasan

Misalkan:p = hari hujanq = ibu memakai payungMaka soal di atas menjadi:    p ⇒ q    ~q

“Hari tidak hujan”
JAWABAN: A

Ini adalah widget teks. Widget Teks memungkinkan Anda menambahkan teks atau HTML ke segala bilah sisi yang mungkin ada di tema Anda Anda dapat menggunakan widget teks untuk menampilkan teks, tautan, gambar, HTML, atau perpaduan semua hal itu. Edit semua itu di bagian Widget dari Customizer.